Tecniche dimostrative

La somma di due numeri naturali pari è un numero naturale pari

Dimostrazione: Siano $x, y, \in N$ numeri pari.

Allora esistono numeri naturali $a$ e $b$ tali che $x = 2a$ e $y = 2b$

Quindi $x + y = 2a + 2b = 2(a + b)$ .

Dunque $x + y$ è un numero pari.

Per ogni $0 \neq n \in N$ , la somma dei numeri da $1$ a $n$ è data da:

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Dimostrazione: Per ogni $n > 0$ dobbiamo dimostrare per induzione la proprietà $P(n): 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Passo iniziale: verifichiamo che vale $P(1): 1 = \frac{1*2}{2}$ .

Passo induttivo: supponiamo che valga la proprietà $P(n)$ , ovvero l'ipotesi induttiva, e diomostriamo che vale $P(n+1)$ , cioè che:

$1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

// TODO: Inserire screenshot 1

$\sqrt{2}$ non è un numero razionale.

Dimostrazione: Supponiamo che $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ dove $p$ e $q$ sono numeri interi tali che $mcd(p, q) = 1$

Ne segue che $p$ è un numero pari, cioè $p = 2k$ dove $k \in Z$ .

Otteniamo che $4k^2 = 2q^2$ e allora $2k^2 = q^2$ .

Quindi $q$ è un numero pari.

Questa è una contraddizione perchè $mcd(p, q)$ doveva essere uguale a $1$ .

Dunque $\sqrt{2}$ non è reazionale.

Vogliamo dimostrare che i seguenti enunciati sono falsi:

Dimostrazione: Si noti che due insiemi sono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi.