Numeri complessi

All'interno dei numeri razionali, non è possibile dimostrare la seguente equazione: $x^2+1=0$ .

Per cercare di risolverla, sono stati creati i numeri complessi.

Ma come fanno i numeri complessi a risolvere questa equazione ?

All'interno dei numeri complessi è presente un nuovo numero $i$ .

L'equazione diventa $i^2+1=0$ .

Passiamo ora ad una definizione formale dell'insieme dei numeri complessi.

$\mathbb{C} = \{(a, b) | a, b \in \mathbb{R}\}$

L'insieme dei numeri complessi si compone di numeri formati da una coppia di elementi a,b dove a e b fanno parte dell'insieme dei numeri reali.

La somma nei numeri complessi

Iniziamo subito con la definizione formale:

$(a,b) + (a', b') = (a + a', b + b')$

per ogni numero complesso $(a, b)$ , abbiamo che $(a, b) + (0, 0) = (a, b)$ . Di conseguenza possiamo definire $(0, 0)$ come il numero neutro per l'addizione nei numeri complessi.
per ogni numero complesso $(a, b)$ esiste un numero $(a', b') \in \mathbb{C}$ tale per cui $(a, b) + (a', b') = (0, 0)$ , ovvero $(-a, -b)$ che scriviamo come $-(a, b)$ . Questo numero complesso $-(a, b)$ viene chiamato inverso.

Definizione formale:

$(a, b) * (a', b') = (a * a' -b * b', a * b' + a' b)$

per ogni numero complesso $(a, b)$ , abbiamo che $(a, b) * (1, 0) = (a * 1 -b * 0, b * 1 + a * 0) = (a, b)$ . Di conseguenza possiamo definire $(1, 0)$ come il numero neutro per la moltiplicazione nei numeri complessi.
per ogni numero complesso $(a, b) \neq 0$ esiste un numero $(a', b') \in \mathbb{C}$ tale per cui $(a, b) * (a', b') = (1, 0)$

E' possibile rappresentare i numeri reali nei numeri complessi definendoli nella forma $(a, 0)$ , dove $a$ è un numero reale $\mathbb{R}$ .

E' possibile inoltre eseguire le operazioni dei numeri complessi con i numeri reali: